Angewandte Tensoralgebra für Ingenieure

 Dozent

C. Krempaszky

Inhalt

• Grundlagen:
  Vektorraum, Basis, Dimension, Skalarprodukt, euklidischer Raum, orthonormale Basis, Konzept der dualen Basis, kovariante und kontravariante Koordinaten, Kronecker-Symbol, Metrikkoeffizienten, Substitutions- und Ziehregel;

• Tensoren 2.Stufe:
  Darstellung, Basiswechsel, Koordinatentransformation, Metriktensor, Spezielle Operationen mit Tensoren 2.Stufe (einfache und doppelte Überschiebung, Transposition, Inversion), dyadenwertige Dyadenfunktionen, Zerlegung von Tensoren 2.Stufe (symmetrische, antimetrische, reguläre, orthogonale, unitäre Dyaden), Tensoren 2.Stufe in der Kontinuumsmechanik (Spannungs- und Formänderungsmaße, Flächen- und Massenträgheitsmomente, etc.)

• Tensoren höherer Stufe:
  Darstellung, Transformationseigenschaften, Transposition, Definition von Tensorprodukten und deren Notation, Permutationstensor und durch ihn vermittelte Abbildungen, Spezielle Tensoren vierter Stufe (Einstetrade, Transponierende Tetrade, symmetrisierende Tetrade, etc.), Tensoren höherer Stufe in der Kontinuumsmechanik.

• Skalarinvarianten:
  Grundinvarianten, Hauptinvarianten, Eigenwerte, Eigenwertproblem, Eigenwertprobleme in den Ingenieurswissenschaften, Eigenvektoren, spektrale Zerlegung, Satz von Cayley-Hamilton und dessen Anwendung.

Dauer / ECTS

• Wintersemester
• Vorlesung (2 SWS) + Übung (1 SWS)
• ECTS 5

Empfohlene Voraussetzungen

• Absolviertes Bachelorstudium (Maschinenwesen, Chemieingenieurwesen, Physik, Materialkunde, Ingenieurwissenschaften)
• Grundlagenausbildung in den Gebieten Mathematik, Physik, Technische Mechanik

Lernziel

Nach der Teilnahme an der Vorlesung ist der/die Studierende in der Lage

• im Tensorkalkül angeschriebene Gleichungen zu analysieren, auf Plausibilität zu prüfen sowie in skalarwertige Gleichungen bzw. in programmierbare Algorithmen umzusetzen.
• eigene Ansätze und Gedanken im Tensorkalkül zu formulieren, umzuformen und zu vereinfachen.
• Tensoreigenschaften von (nicht explizit als Tensoren angegebenen) Größen aus verschiedenen Disziplinen der Ingenieurswissenschaften (z.B. Spannungen und Verformungen in festen, flüssigen oder Gasförmigen Körpern, Trägheitsmomenten, Flächenkrümmungen etc.) richtig einzuschätzen und mit diesen Größen richtig umzugehen.

Medien

• Vorlesung und Übung
• Übungsblätter und Kontrollfragen zum Download über moodle

Prüfung

schriftlich, 60 Min., jedes Semester

bei geringer Teilnehmerzahl: mündlich, 30 Min.

Empfohlene Literatur

• Y. Basar, D. Weichert, Nonlinear Continuum Mechanics in Solids, Springer-Verlag, Berlin, 2000.
• J. Betten, Tensorrechnung für Ingenieure. B.G. Teubner Verlag, 1987.
• H. Lippmann, Angewandte Tensorrechnung, Springer-Verlag, Berlin, 1996.
• M. Itskov, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers: With Applications to Continuum Mechanics, Springer-Verlag, Berlin, 2007.